17 Equações que Mudaram o Mundo

O livro O livro 17 Equações que Mudaram o Mundo, de Ian Stewart, traz de forma simples as equações que tanto nos assustam e mostra o que elas de fato representam em nosso dia a dia.



1. Teorema de Pitágoras



O que diz?
Como os três lados de um triângulo retângulo estão relacionados.
Por que é importante?
Fornece um elo vital entre geometria e álgebra, permitindo-nos calcular distâncias em
termos de coordenadas. Além disso, inspirou a trigonometria.
Qual foi a consequência?
Mapeamento, navegação e, mais recentemente, a relatividade especial e geral – as
melhores teorias atuais de espaço, tempo e gravitação.


2. Logaritmos



O que diz?
Como multiplicar números fazendo, em vez da multiplicação, uma soma de números
correlacionados.
Por que é importante?
Somar é muito mais simples que multiplicar.
Qual foi a consequência?
Métodos eficientes para calcular fenômenos astronômicos tais como eclipses e órbitas
planetárias. Formas rápidas de executar cálculos científicos. A companheira fiel dos
engenheiros, a régua de cálculo. Decaimento radiativo e psicofísica da percepção humana.

3. Cálculo


O que diz?
Encontrar a taxa de variação instantânea de uma grandeza que varia com (digamos) o
tempo, calcular como seu valor varia em um breve intervalo de tempo e dividi-lo pelo
tempo em questão. E então fazer com que esse intervalo se torne tão pequeno quanto se
queira.
Por que é importante?
Fornece uma base rigorosa para o cálculo, o meio mais importante que os cientistas
usam para modelar o mundo natural.
Qual foi a consequência?
O cálculo de tangentes e áreas. Fórmulas para volumes de sólidos e comprimentos de
curvas. As leis do movimento de Newton, equações diferenciais. A lei da conservação da
energia e da quantidade de movimento. A maior parte da física matemática.


4. A lei da gravitação de Newton


O que diz?
Determina a força de atração gravitacional entre dois corpos em termos de suas massas
e da distância entre eles.
Por que é importante?
Pode ser aplicada a qualquer sistema de corpos que interagem por meio da força de
gravitação, tal como o Sistema Solar. A lei nos diz que seu movimento é determinado por
uma lei matemática simples.
Qual foi a consequência?
Predição acurada de eclipses, órbitas planetárias, o retorno de cometas, a rotação das
galáxias. Satélites artificiais, levantamentos terrestres, o telescópio Hubble, observação de
labaredas solares. Sondas interplanetárias, veículos em Marte, comunicação e televisão por
satélite, GPS.


5. A raiz quadrada de menos um



O que diz?
Ainda que devesse ser impossível, o quadrado do número i é menos um.
Por que é importante?
Levou à criação dos números complexos, que por sua vez levou à análise complexa,
uma das mais poderosas áreas da matemática.
Qual foi a consequência?
Métodos aperfeiçoados de calcular tabelas trigonométricas. Generalizações de quase
toda a matemática para o domínio complexo. Métodos mais poderosos de compreender
ondas, calor, eletricidade e magnetismo. A base matemática da mecânica quântica.


6. A fórmula de Euler para poliedros


O que diz?
Os números de faces, arestas e vértices de um sólido não são independentes, mas estão
relacionados de uma maneira simples.
Por que é importante?
Distingue sólidos com diferentes topologias usando o exemplo mais antigo de invariante
topológico. Isso pavimentou o caminho para técnicas mais gerais e mais poderosas, criando
um novo ramo da matemática.
Qual foi a consequência?
Uma das mais importantes e poderosas áreas da matemática pura: a topologia, que
estuda propriedades geométricas que permanecem inalteradas por deformações contínuas.
Exemplos incluem superfícies, nós e laços. A maioria das aplicações é indireta, mas sua
influência nos bastidores é vital. Ajuda-nos a compreender como enzimas agem sobre o DNA numa célula, e por que o movimento dos corpos celestes pode ser caótico.


7. Distribuição normal



O que diz?
A probabilidade de observar um valor específico entre dados é maior perto do valor
médio – a média – e decresce rapidamente à medida que aumenta a diferença em relação à
média. A rapidez desse decréscimo depende de uma grandeza chamada desvio padrão.
Por que é importante?
Define uma família especial de distribuição de probabilidade em forma de sino, que são
geralmente bons modelos das observações comuns do mundo real.
Qual foi a consequência?
O conceito de “homem médio”, testes de significância de resultados experimentais, tais
como testes médicos, e uma infeliz tendência de assumir a curva do sino como se nada mais
existisse.


8. Equação de onda

O que diz?
A aceleração de um pequeno segmento de uma corda de violino é proporcional ao
deslocamento médio dos segmentos vizinhos.
Por que é importante?
Prediz que a corda se moverá em ondas, e generaliza-se naturalmente a outros sistemas
físicos em que as ondas ocorrem.
Qual foi a consequência?
Grandes avanços na nossa compreensão de ondas de água, ondas sonoras, ondas de luz,
vibrações elásticas… Os sismologistas usam versões modificadas da equação para deduzir
a estrutura do interior da Terra pela maneira como ela vibra. As companhias de petróleo
utilizam métodos similares para encontrar petróleo. No Capítulo 11 veremos como ela
predisse a existência das ondas eletromagnéticas, levando ao rádio, à televisão, ao radar e
aos meios de comunicação modernos.


9. A transformada de Fourier



O que diz?
Qualquer padrão no espaço e tempo pode ser pensado como uma superposição de
padrões senoidais com diferentes frequências.
Por que é importante?
As frequências componentes podem ser usadas para analisar os padrões, levar-lhes
ordem, extrair características importantes e remover ruído aleatório.
Qual foi a consequência?
A técnica de Fourier é amplamente usada, por exemplo, em processamento de imagens e
mecânica quântica. É usada para descobrir a estrutura de moléculas biológicas grandes
como o DNA, comprimir dados de imagem em fotografia digital, limpar gravações de áudio
velhas ou danificadas e analisar terremotos. Variantes modernas são usadas para armazenar
eficientemente dados de impressões digitais e aperfeiçoar equipamentos de imagens
médicas.


10. A equação de Navier-Stokes



O que diz?
É a segunda lei do movimento de Newton disfarçada. O termo da esquerda é a
aceleração de uma pequena região de um fluido. O termo da direita são as forças que agem
sobre ele: pressão, tensão e forças internas do corpo.
Por que é importante?
Fornece um meio realmente preciso de calcular como os fluidos se movem. Esta é
característica-chave de incontáveis problemas científicos e tecnológicos.
Qual foi a consequência?
Modernos jatos de passageiros, submarinos rápidos e silenciosos, carros de corrida de
Fórmula 1 que permanecem na pista mesmo em altas velocidades e progressos médicos no
fluxo sanguíneo em veias e artérias. Métodos computadorizados para resolver equações
conhecidos como dinâmica de fluidos computacional (DFC) são largamente usados por
engenheiros para aperfeiçoar a tecnologia nessas áreas.


11. As equações de Maxwell

O que elas dizem?
Eletricidade e magnetismo não podem simplesmente escoar. Uma região rotatória de
campo elétrico cria um campo magnético perpendicular à rotação. Uma região rotatória de
campo magnético cria um campo elétrico perpendicular à rotação, porém no sentido oposto.
Por que são importantes?
Foi a primeira unificação fundamental de forças físicas, mostrando que eletricidade e
magnetismo estão intimamente inter-relacionados.
Qual foi a consequência?
A predição da existência de ondas eletromagnéticas, que viajam na velocidade da luz,
de modo que a própria luz é uma onda dessas. Isso levou à invenção do rádio, do radar, da
televisão, das conexões sem fio para equipamentos de informática e da maior parte das
comunicações modernas.


12. A segunda lei da termodinâmica



O que diz?
A quantidade de desordem num sistema termodinâmico sempre aumenta.
Por que é importante?
Coloca limites na quantidade de trabalho útil que pode ser extraído do calor.
Qual foi a consequência?
Melhores máquinas a vapor, estimativas da eficiência de energia renovável, o cenário
da “morte térmica do universo”, prova de que a matéria é feita de átomos, e conexões
paradoxais com a seta do tempo.


13. Relatividade


O que diz?
A matéria contém energia igual a sua massa multiplicada pelo quadrado da velocidade
da luz.
Por que é importante?
A velocidade da luz é enorme e seu quadrado absolutamente gigantesco. Um quilograma
de matéria liberaria 40% da energia na maior arma nuclear já explodida. Faz parte de um
pacote de equações que mudaram a nossa visão de espaço, tempo, matéria e gravidade.
Qual foi a consequência?
Decididamente, uma física radicalmente nova. Armas nucleares… bem, talvez – mas
não de forma tão direta e conclusiva como alegam os mitos urbanos. Buracos negros, o Big
Bang, e sistemas de navegação por satélite.


14. Equação de Schrödinger


O que diz?
A equação modela a matéria não como partícula, mas como onda, e descreve como essa
onda se propaga.
Por que é importante?
A equação de Schrödinger é fundamental para a mecânica quântica, que, juntamente com
a relatividade geral, constitui atualmente o par de teorias mais efetivas do universo físico.
Qual foi a consequência?
Uma revisão geral da física do mundo em escalas muito pequenas, nas quais todo objeto
tem uma “função de onda” que descreve uma nuvem de probabilidade de estados possíveis.
Neste nível, o mundo é inerentemente incerto. Tentativas de relacionar o mundo quântico
microscópico com o nosso mundo clássico macroscópico levaram a questões filosóficas
que ainda reverberam. Mas, experimentalmente, a teoria quântica funciona de forma
magnífica, e os chips de computadores e lasers da atualidade não existiriam sem ela.


15. Teoria da informação


O que diz?
Define quanta informação uma mensagem contém, em termos da probabilidade de
ocorrência dos símbolos que a compõem.
Por que é importante?
É a equação que desencadeou a era da informação. Estabeleceu limites relativos à
eficiência da comunicação, permitindo que engenheiros parassem de procurar códigos
eficientes demais para existir na realidade. Atualmente é básica para a comunicação digital
– telefones, CDs, DVDs, internet.
Qual foi a consequência?
Códigos eficientes de detecção e correção de erros usados em tudo, desde CDs a
sondas espaciais. As aplicações incluem estatística, inteligência artificial, criptografia e
extração de significados em sequências de DNA.


16. Teoria do caos



O que diz?
Modela como uma população de seres vivos varia de uma geração para a seguinte,
quando há limites de recursos disponíveis.
Por que é importante?
É uma das equações mais simples que podem gerar caos determinístico –
comportamento aparentemente aleatório sem causa aleatória.
Qual foi a consequência?
A percepção de que equações não lineares simples podem criar uma dinâmica muito
complexa, e que aparente aleatoriedade pode esconder uma ordem oculta. Popularmente
conhecida como teoria do caos, esta descoberta tem inúmeras aplicações em todas as
ciências, inclusive no movimento dos planetas no Sistema Solar, previsões de clima,
dinâmica populacional em ecologia, estrelas variáveis, modelos de terremotos e trajetórias
eficientes para sondas espaciais.


17. Equação de Black-Scholes

O que diz?
Descreve como o preço de um derivativo financeiro varia com o tempo, com base no
princípio de que quando o preço está correto, o derivativo não traz risco e ninguém pode
lucrar vendendo-o a um preço diferente.
Por que é importante?
Possibilita comercializar um derivativo antes que ele amadureça atribuindo-lhe um
valor “racional” concordado, de modo a poder se tornar uma mercadoria virtual por si só.
Qual foi a consequência?
Crescimento maciço do setor financeiro, instrumentos financeiros cada vez mais
complexos, surtos de prosperidade econômica pontuados por quedas bruscas, os turbulentos
mercados de ações dos anos 1990, a crise financeira de 2008-09 e o atoleiro econômico atual.